Conectivos lógicos
A continuación hay una tabla que despliega todas las conectivas lógicas que ocupan a la lógica proposicional, incluyendo ejemplos de su uso en el lenguaje natural y los símbolos que se utilizan para representarlas.
Conectiva
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Expresión en el
lenguaje natural
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Ejemplo
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Símbolo en
este artículo
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Símbolos
alternativos
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Negación
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no
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No está lloviendo.
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y
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Está lloviendo y está nublado.
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o
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Está lloviendo o está soleado.
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si... entonces
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Si está soleado, entonces es de día.
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si y sólo si
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Está nublado si y sólo si hay nubes visibles.
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Negación conjunta
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ni... ni
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Ni está soleado ni está nublado.
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Disyunción excluyente
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o bien... o bien
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O bien está soleado, o bien está nublado.
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En la lógica proposicional, las conectivas lógicas son tratados como funciones de verdad. Es decir, como funciones que toman conjuntos de valores de verdad y devuelven valores de verdad. Por ejemplo, la conectiva lógica no es una función que si toma el valor de verdad V, devuelve F, y si toma el valor de verdad F, devuelve V. Por lo tanto, si se aplica la función no a una letra que represente una proposición falsa, el resultado será algo verdadero. Si es falso que «está lloviendo», entonces será verdadero que «no está lloviendo».
El significado de las conectivas lógicas no es nada más que su comportamiento como funciones de verdad. Cada conectiva lógica se distingue de las otras por los valores de verdad que devuelve frente a las distintas combinaciones de valores de verdad que puede recibir. Esto quiere decir que el significado de cada conectiva lógica puede ilustrarse mediante una tabla que despliegue los valores de verdad que la función devuelve frente a todas las combinaciones posibles de valores de verdad que puede recibir.
Leyes notables en lógica
Entre las reglas de la lógica proposiconal clásica algunas de la smás notables son las litadas a continuación:
2. Leyes de idempotencia
3. Leyes asociativas
4. Leyes conmutativas
5. Leyes distributivas
Otras leyes como el principio del tercero excluido son admisibles en lógica clásica, pero en lógica intuicionista y con fines a sus aplicaciones matemáticas no existe un equivalente del tercero excluido, por ejemplo.
Límites de la lógica proposicional
La maquinaria de la lógica proposicional permite formalizar y teorizar sobre la validez de una gran cantidad de argumentos. Sin embargo, también existen argumentos que son intuitivamente válidos, pero cuya validez no puede ser probada por la lógica proposicional. Por ejemplo, considérese el siguiente argumento:
1. Todos los hombres son mortales.
2. Sócrates es un hombre.
3. Por lo tanto, Sócrates es mortal.
Como este argumento no contiene ninguna de las conectivas «no», «y», «o», etc., según la lógica proposicional, su formalización será la siguiente:
1. p
2. q
3. Por lo tanto, r
Pero esta es una forma de argumento inválida, y eso contradice nuestra intuición de que el argumento es válido. Para teorizar sobre la validez de este tipo de argumentos, se necesita investigar la estructura interna de las variables proposicionales. De esto se ocupa la lógica de primer orden. Otros sistemas formales permiten teorizar sobre otros tipos de argumentos. Por ejemplo lalógica de segundo orden, la lógica modal y la lógica temporal.
Dos sistemas formales de lógica proposicional
A continuación se presentan dos sistemas formales estándar para la lógica proposicional. El primero es un sistema axiomático simple, y el segundo es un sistema sin axiomas, de deducción natural.
Sistema axiomático
Alfabeto
El alfabeto de un sistema formal es el conjunto de símbolos que pertenecen al lenguaje del sistema. Si L es el nombre de este sistema axiomático de lógica proposicional, entonces el alfabeto de L consiste en:
· Una cantidad finita pero arbitrariamente grande de variables proposicionales. En general se las toma del alfabeto latino, empezando por la letra p, luego q, r, etc., y utilizando subíndices cuando es necesario o conveniente. Las variables proposicionales representan proposiciones como "está lloviendo" o "los metales se expanden con el calor".
· Dos signos de puntuación: los paréntesis izquierdo y derecho. Su única función es desambiguar ciertas expresiones ambiguas, en exactamente el mismo sentido en que desambiguan la expresión 2 + 2 ÷ 2, que puede significar tanto (2 + 2) ÷ 2, como 2 + (2 ÷ 2).
Gramática
Una vez definido el alfabeto, el siguiente paso es determinar qué combinaciones de símbolos pertenecen al lenguaje del sistema. Esto se logra mediante una gramática formal. La misma consiste en un conjunto de reglas que definen recursivamente las cadenas de caracteres que pertenecen al lenguaje. A las cadenas de caracteres construidas según estas reglas se las llamafórmulas bien formadas. Las reglas del sistema L son:
1. Las variables proposicionales del alfabeto de L son fórmulas bien formadas.
2. Si 
es una fórmula bien formada de L, entonces 
también lo es.
3. Si y 
son fórmulas bien formadas de L, entonces 
, 
, 
y 
también lo son.
4. Sólo las expresiones que pueden ser generadas mediante las cláusulas 1 a 3 en un número finito de pasos son fórmulas bien formadas de L.
Según estas reglas, las siguientes cadenas de caracteres son ejemplos de fórmulas bien formadas:
Y los siguientes son ejempos de fórmulas mal formadas
Fórmula
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Error
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Corrección
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Sobran paréntesis
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Sobran paréntesis
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Sobran paréntesis
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Faltan paréntesis
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Faltan paréntesis
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Por otra parte, dado que la única función de los paréntesis es desambiguar las fórmulas, en general se acostumbra omitir los paréntesis externos de cada fórmula, ya que estos no cumplen ninguna función. Así por ejemplo, las siguientes fórmulas generalmente se consideran bien formadas:
Otra convención acerca del uso de los paréntesis es que las conjunciones y las disyunciones tienen «menor jerarquía» que los condicionales materiales y los bicondicionales. Esto significa que dada una fórmula sin paréntesis, las conjunciones y las disyunciones deben agruparse antes que los condicionales materiales y los bicondicionales. Por ejemplo:
Fórmula
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Lectura correcta
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Lectura incorrecta
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Estas convenciones son análogas a las que existen en el álgebra elemental, donde la multiplicación y la división siempre deben resolverse antes que la suma y la resta. Así por ejemplo, la ecuación 2 + 2 × 2 podría interpretarse como (2 + 2) × 2 o como 2 + (2 × 2). En el primer caso el resultado sería 8, y en el segundo caso sería 6. Pero como la multiplicación siempre debe resolverse antes que la suma, el resultado correcto en este caso es 6, no 8.
Axiomas
Los axiomas de un sistema formal son un conjunto de fórmulas bien formadas que se toman como punto de partida para demostraciones ulteriores. Un conjunto de axiomas estándar es el que descubrió Jan Łukasiewicz:
· 
·
·
Reglas de inferencia
Una regla de inferencia es una función que va de conjuntos de fórmulas a fórmulas. Al conjunto de fórmulas que la función toma como argumento se lo llama premisas, mientras que a la fórmula que devuelve como valor se la llama conclusión. En general se busca que las reglas de inferencia transmitan la verdad de las premisas a la conclusión. Es decir, que sea imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. En el caso de L, la única regla de inferencia es el modus ponens, el cual dice:
Recordando que y no son fórmulas, sino metavariables que pueden ser reemplazadas por cualquier fórmula bien formada.
Ejemplo de una demostración
A demostrar:
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Paso
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Fórmula
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Razón
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1
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Instancia del primer axioma.
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2
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Instancia del primer axioma.
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3
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Instancia del segundo axioma.
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4
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Desde (2) y (3) por modus ponens.
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5
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Desde (1) y (4) por modus ponens. QED
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semantica
Una interpretación para un sistema de lógica proposicional es una asignación de valores de verdad para cada variable proposicional, sumada a la asignación usual de significados para losoperadores lógicos. A cada variable proposicional se le asigna uno de dos posibles valores de verdad: o V (verdadero) o F (falso). Esto quiere decir que si hay n variables proposicionales en el sistema, el número de interpretaciones distintas es de 2n.
Partiendo de esto es posible definir una cantidad de nociones semánticas. Si A y B son fórmulas cualquiera de un lenguaje L, es un conjunto de fórmulas de L, y M es una interpretación de L, entonces:
· A es verdadera bajo la interpretación M si y sólo si M asigna el valor de verdad V a A.
· A es falsa bajo la interpretación M si y sólo si M asigna el valor de verdad F a A.
· A es una tautología (o una verdad lógica) si y sólo si para toda interpretación M, M asigna el valor de verdad V a A.
· A es una contradicción si y sólo si para toda interpretación M, M asigna el valor de verdad F a A.
· A es consistente (o satisfacible) si y sólo si existe al menos una interpretación M que asigne el valor de verdad V a A.
· es consistente si y sólo si existe al menos una interpretación que haga verdaderas a todas las fórmulas.
· A es una consecuencia semántica de un conjunto de fórmulas si y sólo si para toda fórmula B que pertenezca a , no hay ninguna interpretación en que B sea verdadera y A falsa. Cuando A es una consecuencia semántica de en un lenguaje L, se escribe: .
· A es una fórmula lógicamente válida si y sólo si A es una consecuencia semántica del conjunto vacío. Cuando A es una fórmula lógicamente válida de un lenguaje L, se escribe: .
la lógica proposicional
Debido a que los computadores trabajan con información binaria, la herramienta matemática adecuada para el análisis y diseño de su funcionamiento es el Álgebra de Boole. El Álgebra de Boole fue desarrollada inicialmente para el estudio de la lógica. Ha sido a partir de 1938, fecha en que Claude Shannon publicó un libro llamado "Análisis simbólico de circuitos con relés", estableciendo los primeros conceptos de la actual teoría de la conmutación, cuando se ha producido un aumento considerable en el número de trabajos de aplicación del Álgebra de Boole a los computadores digitales. Hoy en día, esta herramienta resulta fundamental para el desarrollo de los computadores ya que, con su ayuda, el análisis y síntesis de combinaciones complejas de circuitos lógicospuede realizarse con rapidez.
aristoteles con respecto al estudio de la logica
La lógica es conocida como una de las ciencias más antiguas, tanto es así que se le atribuye a Aristóteles la paternidad de esta disciplina. Partiendo de que corresponde a Aristóteles haber sido el primero en tratar con todo detalle la lógica, se le considera pues ser su fundador. En un principio se llamó Analítica, en virtud del título de las obras en que trató los problemas lógicos. Más tarde los escritos de Aristóteles relativos a estos eventos fueron recopilados por sus discípulos con el título de Organon, por considerar que la lógica era un instrumento para el conocimiento de la verdad. Aristóteles se planteo cómo es posible probar y demostrar que un conocimiento es verdadero, es decir, que tiene una validez universal. Aristóteles encuentra el fundamento de la demostración en la deducción, procedimiento que consiste en derivar un hecho particular de algo universal. La forma en que se afecta esa derivación es el silogismo, por cuya razón la silogística llega a ser el centro de la lógica aristotélica.
Conectivos L ogicos
Podemos usar la palabra \y" para conectar dos proposiciones y crear una nueva proposici on.
Por ejemplo, podemos conectar las proposiciones
P : El n umero 4 es un entero par.
Q : El n umero 5 es un entero impar.
para formar la nueva proposici on
2R : El n umero 4 es un entero par y el n umero 5 es un entero impar.
La proposici on R a rma que P y Q son ambas verdaderas. Como P y Q; en efecto son
verdaderas, la proposici on R tambi en lo es.
As , dadas dos proposiciones cualesquiera P y Q; podemos combinarlas para formar una
nueva proposici on \P y Q". Se usa el s mbolo ^ para indicar la palabra \y". De esta
manera, P ^ Q signi ca \P y Q".
La proposici on P ^ Q es verdadera si ambas proposiciones P y Q son verdaderas. En
cualquier otro caso, es falsa.
Proposiciones Condicionales
Otra manera de conectar dos proposiciones es mediante el uso de condicionales. Dadas dos
proposiciones cualesquiera P y Q; podemos formar la nueva proposici on \Si P; entonces
Q." Esta proposici on se escribe de manera simb olica como P ) Q; la cual tambi en se lee \P
implica Q". Que la proposici on P ) Q es verdadera signi ca que si P es verdadera entonces
Q tambi en debe ser verdadera (P verdadera obliga a que Q sea verdadera). Una proposici on
de la forma P ) Q se conoce como proposici on condicional (Q ser a verdadera bajo la
condici on de que P sea verdadera). El signi cado de P ) Q nos dice que la unica manera
en que la proposici on P ) Q es falsa es cuando P es verdadera y Q falsa.
Proposiciones Bicondicionales
Dadas dos proposiciones cualesquiera P y Q; podemos considerar tanto P ) Q como su
rec proca Q ) P: En primer lugar, P ) Q no es lo mismo que Q ) P; pues tienen distinto
signi cado, y en consecuencia, pueden tener valores de verdad diferentes.
Consideremos ahora la proposici on m as compleja (note el uso de los par entesis)
(P ) Q) ^ (Q ) P):
Esta a rma que tanto
P ) Q como Q ) P son verdaderas. Se usa el s mbolo , para
expresar este signi cado. Ahora, Q ) P se lee \P si Q" y P ) Q se lee \P; solo si Q".
En consecuencia, leemos P , Q como \P; si y solo si, Q". Una proposici on de la forma
P , Q se conoce como proposici on bicondicional.
Demostraci on Directa
La forma m as natural de demostraci on de un teorema o proposici on que es una proposici on
condicional es la demostraci on directa. Analizando la tabla de verdad para P ) Q,
vemos que si queremos demostrar el teorema o proposici on P ) Q; es su ciente demostrar
que Q es verdadera siempre que P lo sea (pues P ) Q es verdadera cuando P es falsa).
Demostraci on por Contrarrec proca
La demostraci on por contrarrec proca se usa para demostrar, al igual que la demostraci on
directa, teoremas y proposiciones que tienen la forma condicional P ) Q: Esta forma de
demostraci on se basa en el hecho de que P ) Q es l ogicamente equivalente a (:Q) ) (:P).
Demostraci on por Contradicci on
Supongamos que queremos demostrar que una proposici on P es verdadera. Una demostraci on
por contradicci on comienza suponiendo que P es falsa, esto es, que :P es verdadera y
naliza deduciendo que para una cierta proposici on C; se tiene que C ^ :C es verdadera.
Esto es una contradicci on, pues una proposici on y su negaci on no pueden tener el mismo
valor de verdad (recordemos la tabla de verdad para :). Esto es equivalente a demostrar
que P es verdadera.
